PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=
• (terhadap penjumlahan)
PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=
• (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.
Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.
Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.
Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :
n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m
Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H
Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED
Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.
Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k
Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo
Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup sik PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=
• (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.
Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.
Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.
Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :
n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m
Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H
Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED
Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.
Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k
Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo
Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup siklik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.
lik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.
Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.
Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.
Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.
Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :
n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m
Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H
Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED
Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.
Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k
Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo
Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup siklik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.