Feeds:
Posts
Comments

ISOMORFISMA

 Homomorfisma
Suatu pemetaan p : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
p(a.b) = p(a) . p(b), ” a, b Є S
 Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma. Pada kesempatan ini kita akan membahas lebih spesifik tentang isomorfisma.

 Definisi
Sering kali duah buah grup memiliki struktur yang sama kecuali di nama dan elemen. Inilah yang disebit Isomorfisma. Grup dapat dikatakan isomorfisma apabila memenuhi definisi sbb :
Grup G dikatakan isomorfisma ke grup G’ jika fungsinya bersifat satu-satu dan untuk setiap x dan y di G berlaku (xy)Φ (x Φ) (y Φ). Dimana (xy)Φ berlaku di G dan (x Φ) (y Φ) berlaku di G’.

 Teorema 1
Suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.
Bukti :
• Identitas
Ambil sebarang x Є G’, misal Φ:G G’ karena Φ pada maka terdapat x Є G. Jadi xΦ = x’.
x’ = x Φ = (ex) Φ = (e Φ)(x Φ)=(e Φ)x’
x’= x Φ =(xe) Φ = (x Φ)(e Φ) = x’ (e Φ)
Jadi untuk semua x’ Є G, didapatkan
(e Φ)x’ = x’ = x’ (e Φ)
Sehingga e Φ adalah identitas dari G’
• Invers
Untuk a Є G didapatkan
e Φ = (a-1a) Φ = (a-1 Φ)(a Φ)
e Φ = (aa-1) Φ = (a Φ)(a-1 Φ)
akibatnya a-1 Φ = (a Φ)-1 QED

 Menunjukkan Dua Grup Isomorf
Step 1 : Definisikan fungsi yang memetakan dari G ke G’
Step 2 : Tunjukkan fungsi satu-satu
Step 3 : Tunjukkan fungsi pada
Step 4 : Tunjukkan (xy) Φ = (x Φ)(y Φ) untuk setiap x,y elemen G.

 Teorema 2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan (Z,+)
Bukti :
Kita definisikan G = {an l n Є Z }
Sesuai langkah di atas maka :
Step 1 : Φ : G Z dengan an Φ=n untuk setiap an Є G
Step 2 : jika an Φ = am Φ, maka n=m jadi an =am. Jadi Φ satu – satu
Step 3 : untuk sebarang n Є Z, elemen an Є G dipetakan Φ menjadi n. Sehingga terbukti Φ pada.
Step 4 : akan ditunjukkan (an am) Φ = an Φ + am Φ
an Φ =n am=m
an Φ + am Φ = n + m
(anam) Φ = (an+m) Φ = n+m
Jadi terbukti (an am) Φ = an Φ + am Φ

 Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Tidak mungkin kita mencari saru-satu grup yang tidak isomorf. Karena begitu banyaknya fungsi. Kecuali grup yang kita cek keisomorfannya jumlahnya berhingga dan anggotanya tidak sama. Untuk memperjelas mari kita lihat beberapa contoh berikut :
• Grup Z tidak isomorf dengan Q karena Z siklik sedangkan Q tidak.
• Grup (Q*,.) yakni Q tanpa 0 tidak isomorf dengan (R*,.) karena tidak memenuhi sifat fungsi satu-satu.
• Grup (R*,.) tidak isomorf dengan (R,+) karena x+x = a selalu punya solusi di R sedangkan x.x = a tidak selalu punya solusi di R*

 Teorema Cayley
Setiap grup isomorf pada suatu grup Permutasi
Contoh tabel cayley :
Daftar Cayley Grup (Z2,+)

+ 0 1
0 0 1
1 1 0

Advertisements

GRUP SIKLIK

 PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=

• (terhadap penjumlahan)
 PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=

• (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

 Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.

Bukti :
 Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

 Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.

 Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :

n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m

 Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H

Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED

Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.

 Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k

 Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo

 Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup sik PENGERTIAN
Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsure tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :
• (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G = {an | n Є Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Atau dapat ditulis bahwa G=

• (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

 Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.

Bukti :
 Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

 Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.

 Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :

n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m

 Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H

Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED

Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.

 Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k

 Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo

 Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup siklik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

lik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

Grup (G,+) disebut siklik, bila ada a Є G sedemikian hingga G ={na | n Є Z}.
Jadi, Grup Siklik terdiri dari subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Grup Siklik terbagi menjadi 2, yaitu Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

 Teorema 1 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup komutatif / abelian.

Bukti :
 Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={an | n Є Z}.
Ambil sebarang g1, g2 Є G, sehingga g1 = am dan g2 = an, untuk m, n Є Z.
g1 .g2 = am . an = am+n = an+m = an . am = g2 . g1
Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

 Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n Є Z}.
Ambil g1, g2 Є G, sehingga g1= na dan g2 = ma, untuk m, n Є Z.
g1 + g2 = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = g2 + g1
Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.
Kebalikan dari teorema 1 belum tentu berlaku.

 Lemma Algoritma Pembagian di Z
Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat bilangan q dan r sehingga dapat ditulis :

n = mq + r dengan 0 ≤ r ≤ m

 Teorema 2
Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik
Bukti :
Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a.
Dan misalkan H subgrup dari G. Jadi dapat kita tulis H = {e} atau H = di mana e merupakan unsur identitas.
Sekarang andaikan H‡ , maka terdapat an Є H untuk beberapa n Є Z+ .
Kita klaim b = am dimana kita misalkan m adalah bilangan asli terkecil.
Akan dibuktikan : H =
Misal c Є H sebarang, maka c = as untuk s Є Z+.
Maka menurut lemma algoritma pembagian dapat ditulis :
c = as = a mq + r
= amq . ar
Karena as dan am ada di H dan H merupakan grup maka ar Є H

Dan karena m adalah bilangan asli terkecil sehingga r haruslah sama dengan 0, dari lemma algoritma pembagian di Z di mana syaratnya adalah 0 ≤ r < m.
sehingga as = amq
jadi c = as = amq
karena c Є H sebarang maka H= siklis. QED

Teorema ini menunjukkan bahwa subgroup siklik adalah satu-satunya subgroup Z terhadap operasi penjumlahan. Sehingga mengakibatkan subgrup –subgrup dari Z terhadapoperasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.

 Definisi Jumlah Modulo
Misalkan n suatu bilangan positif serta h dan k adalah sebarang bilangan bulat dan r adalah bilangan bulat, maka dapat ditulis
h +k = nq +r , dimana 0 ≤ r < n
adalah jumlah modulo n dari h dan k

 Teorema 3
Himpunan {0,1,2,……….,n-1} adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo

 Teorema 4
Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Dan misalkan b Є G, jadi b = as (dari definisi anggota grup siklik). Maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, di mana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.
Akibat dari teorema ini, yakni jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorde n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

Ceritanya ada seorang anak cowok tunggal yang
ditinggal mati nyokapnya

pas ngelahirin dia.

Sejak itu bokapnya jadi amat sangat workaholic sekali
dan nggak
married2

lagi. Ini anak tapi baik hati dan lemah lembut
walaupun cuma diurus
sama

pengasuh saja.

Pas TK, sementara anak2 laen udah punya sepeda dia
masih jalan kaki.

Pengasuhnya ngadu ke bokapnya, “Tuan, nggak kasian
sama den Bagus?

Masa sepeda nggak punya…apa tuan juga nggak malu?”
Iya..nih..bokapnya

tuh tajir banget deh. Punya sekian perusahaan maka
dipanggil-lah si

anak, ditawarin mau sepeda yang kayak gimana

merek apa..dan si anak cuma bilang, “Aku nggak mau
sepeda, Pi, aku

dibeliin topi item topi putih aja..”

Lho kok gitu? Bingung dong bokapnya. “Kenapa topi item
dan putih?”

Continue Reading »

rumus

HARRY POTTER

200px-harry_potter_deathly_hallows_us

Temen-temen pasti pengen tau kan gimana kehidupan Harry Potter dengan teman-temannya setelah mereka berhasilkan mengalahkan  Lord Voldemort musuh bebuyutannya Harry…

Dalam sebuah wawancara dan online chat,J.K Rowling memberikan informasi tambahan mengenai masa depan dari para tokoh utama yang tidak jadi dituliskannya di bagian epilog. dia menyatakan:

  • Harry menjadi seorang Auror di Kementerian Sihir dan kemudian diangkat sebagai Kepala Departemennya. Ia tetap menyimpan motor Sirius yang sudah diperbaiki oleh Arthur Weasley, tapi ia sudah tidak lagi bisa berbicara Parseltongue setelah hancurnya bagian jiwa Voldemort yang ada di dalam dirinya.
  • Ginny Weasley bermain untuk tim Quidditch Inggris dan Irlandia, Holyhead Harpies selama beberapa waktu, dan kemudian menjadi jurnalis kepala untuk Quidditch di Daily Prophet.
  • Ron bekerja selama beberapa saat bersama George di tokonya, Weasleys’ Wizard Wheezes, dan belakangan menyusul Harry menjadi Auror.
  • Hermione menemui orang tuanya di Australia dan menarik Mantera Perubahan Memori yang dikenakannya kepada mereka. Ia pada mulanya bekerja di Kementrian Sihir pada Departemen Pengaturan dan Pengawasan Makhluk Gaib, secara besar-besaran memperbaiki kehidupan para peri-rumah dan makhluk sejenisnya. Ia belakangan pindah ke Departemen Pelaksanaan Hukum Sihir dan membantu menghapuskan hukum yang sangat pro-darah murni.
  • Rowling menjelaskan bahwa Albus Dumbledore adalah seorang yang berorientasi gay tetapi mengalami cinta tak berbalas dengan Gellert Grindelwald.

Rowling juga menceritakan tentang masa depan para tokoh lainnya:

Continue Reading »

“about me”

saya mahasiswi semester 2 di fakultas MIPA program studi matematika, Universitas Mataram..
nama saya Ni Ketut Sri Arini, tapi biasa dipanggil RINI…Saya lahir 18 tahun yang lalu dan tinggal sampai sekarang di Mataram..

kegiatan saya sehari-hari selain ngerjain tugas kuliah , bantuin ibu saya bersih-bersih rumah (duh capek banget) dan kalo sempet baca novel..
novel kesukaan saya Harry Potter, the ancient of darkness, yah pokoknya novel yang bagus…

Segini dulu ya tentang saya…

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!