Homomorfisma
Suatu pemetaan p : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
p(a.b) = p(a) . p(b), ” a, b Є S
Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma. Pada kesempatan ini kita akan membahas lebih spesifik tentang isomorfisma.
Definisi
Sering kali duah buah grup memiliki struktur yang sama kecuali di nama dan elemen. Inilah yang disebit Isomorfisma. Grup dapat dikatakan isomorfisma apabila memenuhi definisi sbb :
Grup G dikatakan isomorfisma ke grup G’ jika fungsinya bersifat satu-satu dan untuk setiap x dan y di G berlaku (xy)Φ (x Φ) (y Φ). Dimana (xy)Φ berlaku di G dan (x Φ) (y Φ) berlaku di G’.
Teorema 1
Suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.
Bukti :
• Identitas
Ambil sebarang x Є G’, misal Φ:G G’ karena Φ pada maka terdapat x Є G. Jadi xΦ = x’.
x’ = x Φ = (ex) Φ = (e Φ)(x Φ)=(e Φ)x’
x’= x Φ =(xe) Φ = (x Φ)(e Φ) = x’ (e Φ)
Jadi untuk semua x’ Є G, didapatkan
(e Φ)x’ = x’ = x’ (e Φ)
Sehingga e Φ adalah identitas dari G’
• Invers
Untuk a Є G didapatkan
e Φ = (a-1a) Φ = (a-1 Φ)(a Φ)
e Φ = (aa-1) Φ = (a Φ)(a-1 Φ)
akibatnya a-1 Φ = (a Φ)-1 QED
Menunjukkan Dua Grup Isomorf
Step 1 : Definisikan fungsi yang memetakan dari G ke G’
Step 2 : Tunjukkan fungsi satu-satu
Step 3 : Tunjukkan fungsi pada
Step 4 : Tunjukkan (xy) Φ = (x Φ)(y Φ) untuk setiap x,y elemen G.
Teorema 2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan (Z,+)
Bukti :
Kita definisikan G = {an l n Є Z }
Sesuai langkah di atas maka :
Step 1 : Φ : G Z dengan an Φ=n untuk setiap an Є G
Step 2 : jika an Φ = am Φ, maka n=m jadi an =am. Jadi Φ satu – satu
Step 3 : untuk sebarang n Є Z, elemen an Є G dipetakan Φ menjadi n. Sehingga terbukti Φ pada.
Step 4 : akan ditunjukkan (an am) Φ = an Φ + am Φ
an Φ =n am=m
an Φ + am Φ = n + m
(anam) Φ = (an+m) Φ = n+m
Jadi terbukti (an am) Φ = an Φ + am Φ
Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Tidak mungkin kita mencari saru-satu grup yang tidak isomorf. Karena begitu banyaknya fungsi. Kecuali grup yang kita cek keisomorfannya jumlahnya berhingga dan anggotanya tidak sama. Untuk memperjelas mari kita lihat beberapa contoh berikut :
• Grup Z tidak isomorf dengan Q karena Z siklik sedangkan Q tidak.
• Grup (Q*,.) yakni Q tanpa 0 tidak isomorf dengan (R*,.) karena tidak memenuhi sifat fungsi satu-satu.
• Grup (R*,.) tidak isomorf dengan (R,+) karena x+x = a selalu punya solusi di R sedangkan x.x = a tidak selalu punya solusi di R*
Teorema Cayley
Setiap grup isomorf pada suatu grup Permutasi
Contoh tabel cayley :
Daftar Cayley Grup (Z2,+)
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
